Система задач на использование алфавитного подхода

Алфавитный подход основывается на утверждении, что любое сообщение можно закодировать конечной последовательностью символов некоторого алфавита.

Опорными терминами в этом подходе являются понятие алфавита, мощность алфавита.

Количество информации, которое несет в тексте каждый символ (i), вычисляется из уравнения Хартли: 2ⁱ = N, где N — мощность алфавита. Величину i иногда называют информационным весом символа.

Количество информации во всем тексте (I), состоящем из К символов, вычисляется по формуле I = iхК. Данный подход используется для решения задачи на определение: 

• информационного веса символа
• мощности алфавита
• количества информации в сообщении
• количества символов в сообщении.​

​Решение задач на применение алфавитного подхода к измерению количества информации

Задача 1. Какое количество информации содержится в сообщении из 10 символов, записанного буквами из 32 символьного алфавита?

Решение. Зная, что в тексте использовался алфавит, мощность которого равна 32 символам и используя формулу Хартли 2ⁱ = N, вычислим информационный вес одного символа данного алфавита:

2ⁱ = 32, тогда 2ⁱ = 2⁵, следовательно i=5 бит.

Теперь вычислим количество информации в сообщении. I=5х10=50бит.

Ответ: в сообщении содержится 50 бит информации.

Задача 2. Для записи текста использовался 256-символьный алфавит. Каждая страница содержит 32 строки по 64 символа в строке. Какой объем информации содержат 5 страниц этого текста?

Решение. Зная, что для записи текста использовался алфавит, мощность которого равна 256 символам и используя формулу Хартли 2ⁱ = N, вычислим информационный вес одного символа данного алфавита: 2ⁱ = 256, тогда 2ⁱ = 2⁸, следовательно, i=8 бит.

Теперь вычислим количество информации представленного на 5 страниц текста. Для нахождения информационного объема всего текста необходимо знать общее количество символов этого текста. Для этого перемножим количество символов в строке х на количество строк на странице ​х на количество страниц.

К=(32​х64)х5=10240, I=1024​х​8=81920бит=10240байт=10Кбайт.

Ответ: информационный объем 5 страниц текста равен 10Кбайт

Задача 3. Для записи сообщений использовался 64-символьный алфавит. Всё сообщение содержит 8775 байт информации и занимает 6 страниц, каждая страница содержит 30 строк. Сколько символов в строке?

Решение. Данная задача является обратной для задачи под номером 2. Зная, что в сообщении использовался алфавит, мощности 64, используя формулу Хартли, вычислим информационный вес одного символа.

2ⁱ=64, тогда 2ⁱ=2⁶, следовательно i=6 бит.

Так как информационный вес всего сообщения выражен в байтах, а информационный вес символа - в битах, то прежде, чем находить общее количество символов в сообщение, переведем байты в биты. 8775 байт=8775​х8=70200 бит.

Количество символов в сообщении 70200/6=11700 (символов).

Количество символов в строке K=11700/(30​х6)=65 (символов).

Ответ: в данном сообщении в каждой строке по 65 символов.

Задача 4. Сравните объемы информации, содержащиеся в двух письмах. Первое состояло из 50 символов 30-символьного алфавита, второе – из 40 символов 60-символьного алфавита.

Решение. По формуле Хартли 2ⁱ = N определим информационный вес символа из каждого алфавита:

2ⁱ¹ = 30, 2⁴=16, 2⁵=32, 16<30<32, 2⁴<2ⁱ¹<2⁵,

2ⁱ² = 60, 2⁵=32, 2⁶=64,  32<60<64, 2⁵<2ⁱ²<2⁶​.

Так как при нахождении информационного веса одного символа получилось не целое число, то для расчета количества информации необходимо взять наименьшее целое число i такое что, 2ⁱ >=N. Поэтому: i1=5 бит, i2=6 бит.

Определим количество информации в каждом из писем.

I1= i1хk1=5х50=250 бит.

I2= i2хk2=6​х40=240 бит.

Найдем разность между информационными объемами двух писем. I1>I2, I1-I2=250-240=10 бит.

Ответ: в первом письме содержится на 10 бит больше информации, чем во втором письме.

Задача 5. В соревнованиях по легкой атлетике (марафон) участвуют 120 спортсменов. Специальное устройство реагирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимального количества бит, одинакового для каждого марафонца. Каков информационный объем в битах сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 70 спортсмена?

Решение. По условию задачи в соревнованиях участвовало 120 атлетов, у них 120 номеров, которые нужно закодировать, следовательно, за мощность алфавита следует взять количество номеров спортсменов, т.е. N=120. По формуле Хартли можно найти информационный вес сообщения записанного устройством после прохождения одного спортсмена промежуточного финиша.

2ⁱ=120, 2⁶=64, 2⁷=128, 64<120<128, 2⁶<2ⁱ<2⁷​.

Для расчета количества информации возьмем наименьшее целое число i такое что, 2ⁱ​>=N, 2⁷>=120, i=7 бит.

Найдем информационный объем сообщения, записанного устройством, после прохождения промежуточного финиша 70 спортсменами. I=7​х 70=490 бит.

Ответ: информационный объем сообщения, записанного устройством, после прохождения промежуточного финиша 70 спортсменами равен 490 бит.

Задача 6. Два друга написали друг другу сообщения. Сообщения содержат одинаковое количество символов Количество информации в первом сообщении в 2,5 раза больше, чем во втором. Какова мощность каждого алфавита, если известно, что количество символов в каждом алфавите не превышает 15 и информационная емкость символов равна целому числу?

Решение. Обозначим: К1, К2- количество символов в 1 и 2 сообщении; N1,N2-мощность 1 и 2 алфавита; I1, I2- количество информации в 1 и 2 сообщении Так как количество информации в первом сообщение в 2,5 раза больше чем во втором, то данное условие можно записать в виде I1=2,5​хI2. Оба сообщения содержат одинаковое количество символов, следовательно К1=К2=К. В задачи так же известно, что количество символов в каждом алфавите не превышает 15, а минимальное количество символов должно быть не меньше 2, следовательно 2≤ N1≤15, 2≤ N2≤15 и информационная емкость символов равна целому числу.

Найдем зависимость между информационной емкостью символов, каждого из алфавита. I1= 2,5​хI2; К​хi1=2,5хКхi2; i1=2,5​хi2.

Из полученного уравнения видно, что i2 – четное число, поскольку i1 должно быть целым числом.

Находим информационную ёмкость символа из второго алфавита. Так как 2≤ N2≤15, и i2-четное число, то 2≤ 2ⁱ²≤15, 2≤ 2²≤15, 2≤ 2³≤15, i2=2(бита).

Найдем мощность второго алфавита. N2=2ⁱ²=2²=4(символа) Найдем информационную емкость символа из 1-го алфавита. i1=2,5​хi2=2,5​х 2=5(бита).

Находим мощность алфавита 1-го алфавита. N1=2ⁱ¹=32(символа)

Ответ: Мощность алфавита в первом сообщении составляет 32 символа, а мощность алфавита во втором сообщении -4 символа.

 Задачи для самостоятельного решения

• 2015 Апрель